📐 Day 21: 기본 칼만필터 (선형 KF 수학적 유도)

안녕하세요! ✨
앞서 Day 20에서는 ROS2 환경에서 센서 데이터 융합 실습을 진행했습니다.
오늘은 센서 융합의 핵심 알고리즘인 Kalman Filter(칼만 필터) 의 수학적 유도 과정을 단계별로 정리해보겠습니다.

기본 칼만필터 (선형 KF 수학적 유도)

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🔍 Kalman Filter란?

Kalman Filter는 불확실한 데이터를 기반으로 최적의 상태를 추정하는 알고리즘입니다.
자율주행에서는 LiDAR, Camera, Radar 같은 센서 데이터를 결합해 차량의 위치, 속도, 궤적 등을 추정하는 데 널리 사용됩니다.

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⚙️ Kalman Filter의 단계

Kalman Filter는 크게 두 단계로 나눌 수 있습니다.

1. 예측 단계 (Prediction)
   시스템 모델을 기반으로 현재 상태를 예측
   • x : 상태 벡터 (위치, 속도 등)
   • P : 공분산 행렬 (불확실성)
   • A : 상태 전이 행렬
   • B : 제어 입력 행렬
   • u : 제어 입력
   • Q : 프로세스 잡음
      

     r

      
     x(k|k-1) = A · x(k-1) + B · u(k) P(k|k-1) = A · P(k-1) · A^T + Q
2. 업데이트 단계 (Update)
   실제 관측값을 반영해 예측을 보정
   • K : 칼만 이득 (Kalman Gain)
   • z : 관측 벡터 (센서 측정값)
   • H : 관측 행렬
   • R : 관측 잡음
   • I : 단위 행렬
      

     mathematica

      
     K(k) = P(k|k-1) · H^T · ( H · P(k|k-1) · H^T + R )^-1 x(k) = x(k|k-1) + K(k) · ( z(k) - H · x(k|k-1) ) P(k) = ( I - K(k) · H ) · P(k|k-1)

👉 한 줄 요약:

• 예측(Prediction) = “미래를 추정”
• 업데이트(Update) = “센서로 보정”
• 두 과정을 반복해 최적 상태를 추정

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🧮 직관적 이해

• 예측만 하면 → 센서 잡음 무시 → 오차 누적
• 업데이트만 하면 → 센서 노이즈 직접 반영 → 불안정
• 예측 + 업데이트 → 잡음 제거 + 안정성 확보

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🚘 자율주행에서 활용

• GPS + IMU 융합 → 안정적인 위치 추정
• Radar + Camera → 속도·거리·객체 추적
• LiDAR + Camera → 3D 환경 인식 강화

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📌 정리

• Kalman Filter는 예측 + 업데이트 두 단계를 반복
• 수학적으로는 최적의 추정값을 제공하는 선형 필터
• 자율주행에서는 센서 융합, 추적, 상태 추정에 필수

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🚀 다음 글 예고

다음 글에서는 [Day 22: Python으로 1D 칼만필터 구현] 을 다룹니다.
실제 코드로 칼만필터를 구현하면서, 오늘 배운 이론이 어떻게 적용되는지 확인해보겠습니다.

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